WWW.NEW.Z-PDF.RU
БИБЛИОТЕКА  БЕСПЛАТНЫХ  МАТЕРИАЛОВ - Онлайн ресурсы
 

«DOI: 10.7463/0815.0786155 Представлена в редакцию: 06.06.2015 Исправлена: 23.06.2015 © МГТУ им. Н.Э. Баумана УДК 531.36, 517.977 Постановка задачи управления фронтом Парето и ...»

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана .

Электрон. журн. 2015. № 08. С. 140–170 .

DOI: 10.7463/0815.0786155

Представлена в редакцию: 06.06.2015

Исправлена: 23.06.2015

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 531.36, 517.977

Постановка задачи управления фронтом

Парето и ее решение в анализе и синтезе

оптимальных систем

Романова И. К.1,*

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В рамках теории и практики многокритериальной оптимизации применительно к проблеме

нахождения парето - оптимальных вариантов формулируется задача активного совместного участия разработчиков систем и (или) лиц, принимающих решения (ЛПР) в управлении фронтом Парето. Отмечается, что такая постановка задачи отличается от традиционно принятого подхода, основанного на анализе уже существующих решений. Показаны возможности влияния на характеристики фронта Парето в рамках задачи параметрического синтеза двухконтурных систем управления движением летательных аппаратов .

Рассматриваются парные критерии в классе прямых критериев качества, а также в классе интегральных критериев. Определена структура рангов Парето и их зависимость от свойств регулятора. Отмечены конкретные физические параметры ЛА, изменения которых в рамках проектирования новых систем позволяют добиться наилучших эффектов по общем улучшению компромиссных решений. Получены аналитические зависимости, позволяющие оценить пределы возможного улучшения показателей качества .

Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, Парето - оптимальные решения, фронт Парето, ранги Парето, прямые и интегральные критерии качества, синтез систем управления, летательные аппараты

1. Введение Задача многокритериальной оптимизации (МКО) предполагает обращение к задачам исследования операций в том случае, когда критерии независимы и задано направление улучшения значений критериев. Как теоретическая дисциплина она основана на аксиомах выбора решения и следствиях этих аксиом. В формулировке задачи предполагается наличие двух пространств: решений и критериев На практике задачи выбора решений в научных, технических, экономических, социальных, областях как правило, предполагают наличие нескольких или даже многих альтернатив. Именно является взаимная противоречивость отдельных критериев является основной проблемой в МКО .

Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 140 За последние десятилетия в теории и практике решения задач МКО достигнуты значительные успехи. Одним из важнейших направлений исследований является получение так называемых парето - оптимальных вариантов. Первое из положений, а именно, аксиома Парето, состоит в том, что если оценка одного из двух вариантов не хуже оценки второго варианта по всем компонентам, причем, по крайней мере, по одной из них

– строго лучше, то первый вариант предпочтительнее второго, т.е .

x, x X, hi (x) hi (x), i 1,...m k {1,2,...,m} : hk (x) hk (x) x X x, (1) где - бинарное отношение предпочтения определённое на X, лица, принимающего решение (ЛПР); причем, если, то из пары вариантов ЛПР выберет первый вариант и не выберет второй. Второе базовое положение теории Парето – оптимальных систем, это аксиома исключения, предполагающая, что вариант, не выбираемый в какой-либо паре, не должен оказаться среди выбранных и из исходного множества возможных вариантов, т.е .

–  –  –

P( X ) {x X : {x' X : x' x, x' x} 0} .

Наиболее наглядно фронт Парето (компромиссная кривая) представляется для случая двух взаимно противоречивых критериев (рис.1) [1] .

–  –  –

Формальное описание видов фронта Парето хорошо разработано в экономических приложениях. В них часто для границы (фронта) Парето используют понятие кривых безразличия, т.е. совокупности точек на координатной плоскости, каждая из которых является потребительским набором, обеспечивающим потребителю одинаковый уровень удовлетворения его потребностей (одинаковую полезность) .

У кривых безразличия имеется ряд свойств. Кривая безразличия стандартного вида является непрерывной функцией, а не набором дискретных точек. Для любого заданного уровня полезности может быть проведена своя кривая безразличия, отражающая различные комбинации двух товаров, обеспечивающих потребителю одинаковый уровень удовлетворения. Кривые безразличия описывающие поведение одного потребителя никогда не пересекаются. Кривые безразличия имеют отрицательный наклон, причем наклон кривой безразличия уменьшается при движении вправо, они вогнуты по отношению к началу координат (рис.2) .

Форма кривых безразличия в нестандартной форме и их наклон в данной точке определяется исключительно потребительскими предпочтениями. Выделяют товары — совершенные заменители, товары — совершенные дополнители, нежелательные и нейтральные товары .

Помимо качественных оценок, для кривых безразличия вводятся количественные оценки .

Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 142 Рис.2. Зона замещения (субституции) Переходя от точки А к точке В, потребитель сокращает потребление блага Y на Y и наращивает потребление товара X на Х, но общий уровень удовлетворения потребителя (совокупная полезность) остается неизменным. Зона замещения (субституции) — участок кривой безразличия, на котором возможна эффективная замена одного блага другим .

Предельная норма замещения — количество одного блага, от которого потребитель готов отказаться, чтобы получить дополнительную единицу другого блага.

Предельная норма замещения всегда отрицательная величина, рассчитывается следующим образом:

QY MRS XY, Q X где MRS — предельная норма замещения; QX— количество товара X; QY— количество товара Y. Абсолютная величина наклона кривой безразличия равна предельной норме замещения .

В технических приложениях используется, как правило, более широкое понятие фронта (границы) Парето. В [12] показано существование 4 видов границ Парето (см .

рис.3), а именно, выпуклый, вогнутый (невыпуклый), выпукло-вогнутый фронт (также невыпуклый), разрывный .

Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 143 Задача (1) может быть инвертирована так, что для пары решений x, x бинарное отношение предпочтения определённое на X, лица, принимающего решение (ЛПР) запишется в виде

–  –  –

В этом случае можно сказать, что выпуклые границы искривлены в строну лучших решений, а вогнутые – в обратную сторону. Невыпуклые границы не полностью выпуклы и включают вогнутые участки. Границы также могут быть не непрерывными, что означает наличие областей вдоль фронта, в которых просто не может быть решений. Локальнооптимальные по Парето фронты в пространстве соответствуют случаю, когда для определенной точки, не принадлежащей глобальной границе Парето, известно, что она доминирует все точки в некоторой окрестности .

Рис.3. Четыре вида фронта Парето: 1- выпуклый, 2-вогнутый (невыпуклый), 3-выпукло-вогнутый фронт (также невыпуклый), 4- разрывный .

Многообразие точек в пространстве параметров, которое отображается через математическую модель или прототип (процесс, объект или субъект) на пространство параметров, не всегда исключается из рассмотрения с оставлением только точек фронта Парето. Иногда полезным бывает выполнить дополнительные анализы всех имеющихся решений. Для этого вводится понятие рангов Парето (см. рис. 4, ранги 1, 3 и 5 представляют выпуклые фронты, ранги 2 и 4 – смешанные, т.е. выпукло-вогнутые) .

Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 144 Рис.4. Ранги Парето для двух критериев J1 и J2, соответствующие определению эффективности (2) .

Важное практическое применение рангов отражено в работе [2], где показана связь между рангами Парето и функционированием механизма ранжирования пограничных средств по охране участков границ. Определение рангов лежит в основе одного из классов метода МКО, а именно, ранжирования агентов популяции. В частности, простым алгоритмом является метод Non-Dominated Sorting (недоминируемой сортировки) [12] .

Одной из характеристик фронта является его разреженность (см. рис.5) .

Разреженность для критерия В выше, чем для критерия А, поскольку A1+A2 B1+B2. Отметим, что рассматривается основное определение оптимума (1) .

Рис.5. Разреженность фронта Парето по (1) .

Для технических решений кривая фронта Парето часто является непрерывной и замена ее компромиссной ломаной связана с ограниченностью количества проведенных Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 145 экспериментов [3]. Предположив, что на рис. 5 представлена компромиссная ломаная, отметим величину уступок по точкам А и B. Для этого рассмотрим отношение B2/B1 и A1/A2. Очевидно, при переходе от области В к области А улучшение по критерию 1 приводит к все большим ухудшениям (уступкам) по критерию 2 и наоборот. Переходя в пределе к непрерывной компромиссной кривой, отметим, что введение производной dJ2/dJ1 может выступить оценкой соотношения компромиссов .

Отметим, что описание фронта тесно связано с понятием оптимального решения .

Один из вариантов поиска компромисса представлен на рис. 6. [13] Рис. 6. Определение оптимального решения по Кэли- Смородински: I – идеальная точка, d – предельно допустимая точка, P – фронт Парето, S – область допустимых решений, K- оптимальное решение .

Одним из подходов к обработке данных, составляющих фронт Парето является решение задачи минимизации функции свертки критериев (h1, h2 ) min{1 f1, 2 f 2} где h1,h2 оптимальные по Парето критерии, {1,2} весовые коэффициенты; f1,f2 исходные критерии. Пример использования приводится в [3] Математическое описание фронта при отыскании согласованного оптимума (сильного оптимума Парето) опирается на следующие соотношения [4]. Справедливо условие касания поверхностей уровня h1(x)=b1, h2(x)=b2, порождающее соответствующую систему линейных уравнений относительно переменных. Градиенты в точках соприкосновения задаются формулами grad h1 (x) gradh2 (x). (3) Векторное уравнение (3) равносильно n скалярным алгебраическим уравнениям

–  –  –

3. Обзор литературы по проблемам анализа фронта Парето .

В статье (4) подробно рассматривался обзор статей по определению фронта Парето. В контексте данной работы проследим, как анализируются свойства фронта Парето .

Во-первых можно выделить ряд работ, в которых дается математическое описание фронта. В [4] подробно рассмотрена топология задачи определения фронта Парето и приведены математические соотношения .

Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 147 В [14] раскрывается сущность метода HyperBox Exploration (HBE), и приводится геометрическая интерпретация гипербоксов. В соответствии с определением сильного оптимума Парето важной характеристикой являются градиенты. Также показано применение нормальных векторов в характеристиках фронта Парето. Для угловых характеристик фронта в соответствии с рис. 7 Рис.7. Применение нормальных и тангенциальных векторов в описании фронта Парето .

–  –  –

Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 148 Ряд работ [12,13,17,18,19] посвящен исследованию фронта Парето в условиях неопределенностей. В частности, в [12] рассматривается влияние шумов на форму границы Парето. В [20] рассматривается задача нелинейной фильтрации в системах с неопределенностью в рамках оптимальности по Парето. В [17] выделяется проблема неопределенностей и робастности решения. В [5] рассматривается широкий круг проблем управления, но особенно важно описание подходов к оценке чувствительности систем, хотя впрямую Парето не рассматривается. В [21] рассматриваются изменения фронта Парето в рамках анализов чувствительности МКО. В [22] рассматриваются проблемы построения Парето для полных и несовершенных моделей, в т.ч. в стохастической постановке .

Проблемы нахождения оптимальных решений в условиях ограничений на параметры и критерии рассматриваются в [17,23]. Ограничения могут носить интегральный характер [23]. В [6] решается задача поиска оптимума в условиях неполноты данных и построены поверхности нечеткого вывода для каждого из имеющихся критериев. В [24] показаны необходимые и достаточные условия оптимума Парето в условиях ограничений специальной структуры .

В ряде работ [3],[4] показано получение Парето-оптимальных решений по результатам обработки экспериментальных данных. В [25] показана возможности аппроксимации фронта Парето путем интерполяций для ряда точек Парето .

Интерес представляют практические применения анализов Парето-оптимума, например в [26] даны приложения Парето-анализов к гибридным механическим системам .

В [27] приводятся разные виды областей Парето для прикладной задачи. В [2] проводится прикладной анализ выбора Парето-оптимальных вариантов в пространстве «качество – надежность - затраты»

Одним из подходов является преобразование пространств параметров и критериев .

Так, в [17] отмечается важность масштабирования при построении границ и показано преобразование пространства критериев. В [7] показаны графики модифицированных функционалов технических приложений .

Работы по поиску Парето-оптимальных решений рассматриваются в рамках хорошо разработанной на сегодняшний день теории дифференциальных игр [24,28]. Так, в [29] задача рассматривается в рамках теории дифференциальных игр и стохастической постановке, т.е. рассматривается стохастические Парето-оптимальные стратегии. В [30] вводится специальная переменная – вектор скаляризации и представлены аналитические зависимости для задачи дифференциальных игр. В [31] рассматривается усложненная задача дифференциальных игр для мультиагентных систем. В [32] предлагается метод нахождения компромиссных решений для группы критериев в виде

–  –  –

Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 149 Выбор вариантов может быть осуществлен и при неявном задании функций полезности. Обзор соответствующих интерактивных (диалоговых) методов решения многокритериальных задач выбора вариантов приводится дан в 7, где также приводится более общая задача развития методов жесткой оптимизации .

Методы, ориентированные на применение весовых коэффициентов, приводятся, например, в [8], где отмечена реализация разработанных поисковых процедур нелинейного программирования в пространстве весовых коэффициентов сверток Джоффриона. В [33] приводятся классификация решения по Парето и вводится весовой параметр, для этого случая рассматриваются необходимые и достаточные условия Парето-оптимума .

Геометрическая интерпретация для более сложного случая 3 критериев приводится в [17], где рассматривается 3-мерная граница фронта Парето. Стратегия визуализации предложена в [34]. В [9] также дается геометрическая интерпретация для случая 3 критериев с использованием угла между тремя ненулевыми векторами на плоскости, рассчитанными через соответствующие градиенты .

Из обзорных работ следует отметить [10], где приводятся основные определения Парето- оптимума и [11], посвященной общим вопросам МКО .

Итак, работы подразделяются на исследование в условиях неопределённости, в стохастической постановке, при наличии ограничений, связывается анализ Парето и анализ чувствительности. Рассматривается топология в 2 и 3 мерном случае, современные приложения направлены на мультиагентные системы, на группы игроков в дифференциальных играх. Приводятся необходимые и достаточные условия нахождения Парето решений. Показаны технологии обработки экспериментальных данных и задачи интерполяции .

Однако задачи активного управления фронтом во всех рассмотренных работах не ставится .

–  –  –

Аналитические зависимости прямых критериев от параметров системы для модели в виде передаточной функции приведены в [4].

В качестве критериев используются перерегулирование:

–  –  –

Без ограничений общности в качестве параметров рассматриваются собственная частота n и коэффициент демпфирования. Выполняя дифференцирование (6) и (7) по указанным параметрам, получим

–  –  –

Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 152 Отсюда для данного коэффициента демпфирования, а, значит, для данного перерегулирования время нарастания прямо пропорционально постоянной времени. Это означает, что уменьшение постоянной времени приводит и к смещению фронта Парето влево и к увеличению его наклона. Результаты расчета, подтверждающие этот вывод, показаны на рис.10 .

Рис.10. Влияние постоянной времени на зависимость фронта Парето в критериях «время нарастания tr» перерегулирование »; стрелкой показано направление увеличения коэффициента демпфирования замкнутой системы .

5. Методика активного управления фронтом по критериям переходного процесса для двухконтурной системы управления На практике важны механизмы, которые позволят изменить демпфирование и постоянную времени (собственную частоту) замкнутой системы. Пример двухконтурной системы был рассмотрен в статье .

Модель представляется в виде системы дифференциальных уравнений .

–  –  –

k1 k длу a42V / g .

Передаточная функция от входа – отклонения органов управления в к выходу (нормальному ускорению wу или нормальной перегрузке ny) может быть представлена в виде

–  –  –

a13 устойчивость объекта, - эффективность управления рулями высоты .

Основное влияние на управление осуществляется за счет изменения коэффициентов датчиков угловых скоростей kдус и датчиков линейных ускорений kдлу, установленных в обратных связях по соответствующим контурам .

Вначале рассматривается влияние коэффициента усиления датчика угловых скоростей (внутреннего контура). Расчет критериев перерегулирования и времени нарастания tr рассчитывается по формулам (6) и (7) с учетом (13) и (14). Далее рассчитываются производные

–  –  –

Из анализа графика рис.11 следует, что увеличение модуля коэффициента усиления датчика угловых скоростей приводит к сжатию фронта Парето по перерегулированию и вытягиванию по времени переходного процесса. Наклон фронта Парето при этом изменяется несильно. График рис.11 может быть перестроен в рис.12 .

Судя по рис.12, увеличение модуля коэффициента усиления датчика линейных ускорений вызывает смещение фронта Парето влево с одновременным увеличением угла наклона фронта, т.е. чувствительность его возрастает .

Набор решений по модели также может быть рассмотрен с точки зрения рангов по определению (1). В данном случае выпуклые границы искривлены в строну худших решений, а вогнутые – в лучшую сторону. Каждый из отдельных рангов соответствует в рассмотренной в [4] модели вариации коэффициента датчика линейных ускорений при разных значения коэффициента усиления датчика угловых скоростей, причем если последний коэффициент будет по модулю ограничен снизу, придется переходить на следующий ранг Парето (рис.13)

–  –  –

Рис. 13. Набор рангов Парето для критериев времени нарастания и перерегулирования: отмечены ранги 1-5 .

Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 157 В статье [4] было показано, что наилучший результат, т.е. ранг 1, может быть получен путем объединения максимального по модулю коэффициента kдлу (вертикальная часть) и kдус (горизонтальная часть). Влияние отдельных коэффициентов для наилучшего ранга представлено на объединенном рис.14 .

Рис.14. Влияние вариаций динамических коэффициентов на положение фронта Парето .

Из рис.14 следует, что наибольший эффект оказывает изменение a13 эффективности управления рулями высоты, что вполне объяснимо. Влияние коэффициентов a11 и скорости V незначительно .

–  –  –

Результаты расчетов по (22) для полученных в результате применений функций аппроксимации конкретных коэффициентов рассматриваемой модели показаны на рис. 16 .

–  –  –

Обращает на себя внимание наличие точки равновесия, где влияния коэффициента a13 нет. Через изменение а13 наклон фронта парето меняется, но не так существенно, как при изменении фактора. Аналогичные расчеты были проведены и для других коэффициентов (рис.17) .

Рис.17. Влияние динамического коэффициента a12 статической устройчивости объекта и динамического коэффициента a11 собственного демпфирования объекта на изменение зависимости наклона фронта Парето от масштабного фактора .

–  –  –

Сформулирована задача активного управления фронтом Парето. Рассмотрены три вида критериев качества. Во-первых, изучено влияние коэффициентов демпфирования и постоянной времени замкнутой системы вида колебательного звена. Показано, что изменение собственной частоты (постоянной времени) обратно пропорционально влияет на наклон фронта Парето, т.е. чем меньше постоянная времени, тем фронт будет круче и будет наблюдаться смещение фронта Парето влево .

Во-вторых, фронт Парето исследуется применительно к практической задаче синтеза двухконтурной системы. Увеличение коэффициента усиления датчика угловых скоростей по модулю приводит к сжатию фронта Парето по перерегулированию и вытягиванию по времени переходного процесса. При увеличении по модулю коэффициента усиления датчика линейных ускорений происходит смещение фронта Парето влево с одновременным увеличением угла наклона фронта, т.е. чувствительность фронта возрастает. Отмечается, что наиболее сильное влияние на изменение фронта Парето оказывает изменение динамического коэффициента a13 .

Выявлена структура рангов Парето и показано, что каждый из отдельных рангов соответствует вариации коэффициента датчика линейных ускорений при разных значения коэффициента усиления датчика угловых скоростей, причем если последний коэффициент будет по модулю ограничен снизу, придется переходить на следующий ранг Парето .

При использовании интегральных критериев изменения фронта Парето можно добиться, изменяя также коэффициенты демпфирования и статической устойчивости системы. Для сложных зависимостей интегральных критериев получены аппроксимирующие зависимости и отмечена полезность применения такого подхода, для проведения более обширного круга исследований без дополнительного моделирования .

Список литературы

1. Романова И.К. Об одном подходе к определению весовых коэффициентов метода пространства состояний // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон .

журн. 2015. № 4. С. 105-129. DOI: 10.7463/0415.0763768

2. Пьянков А.А. Методический подход к многокритериальной оценке вариантов развития базовых и критических технологий // Материалы Восьмой Всероссийской научно-практической конференции «Перспективные системы и задачи управления» .

Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2013. С. 44-50. Режим доступа: http://rirpc.ru/wpcontent/uploads/2014/11/CHast_1-8-2013.pdf (дата обращения 01.07.2015) .

3. Бородулин А.С., Малышева Г.В., Романова И.К. Оптимизация реологических свойств связующих, используемых при формовании изделий из стеклопластиков методом вакуумной инфузии // Клеи. Герметики. Технологии. 2015. № 3. С. 40-44 .

Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 162

4. Романова И.К. Применение аналитических методов к исследованию паретооптимальных систем управления // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана .

Электрон. журн. 2014. № 4. С. 238-266. DOI: 10.7463/0414.0704897

5. Бобцов А.А., Никифоров В.О., Пыркин А.А., Слита О.В., Ушаков А.В. Методы адаптивного и робастного управления нелинейными объектами в приборостроении:

учеб. пособие для вузов. СПб: НИУ ИТМО, 2013. 277c .

6. Заргарян Ю.А., Косенко О.В., Васильев И.А. Численный метод нахождения паретооптимального решения в условиях неполноты исходных данных // Известия ЮФУ .

Технические науки. 2013. Вып. 2 (139). С.137-144 .

7. Семенова А.В., Чирков Д.В., Лютов А.Е. Целевые функционалы при оптимизации рабочего колеса поворотно-лопастной гидротурбины // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета .

2014. № 3 (202). C. 97-106 .

8. Черноруцкий И.Г. Петербургская научная школа жесткой оптимизации (история и обзор основных научных результатов) // Научно-технические ведомости СПбГПУ .

Информатика. Телекоммуникации. Управление. 2013. № 5 (181). С. 29-38 .

9. Ногин В.Д., Прасолов А.В. Многокритериальная оценка оптимальной величины импортной пошлины // Труды ин-та Системного Анализа РАН. 2013. Т. 63, вып. 2. С .

34-44 .

10. Лотов А.В., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решений. М.:

МАКС Пресс, 2008. 197 с .

11. Карпенко А.П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой : учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 .

446 с .

12. Luke S. Essentials of Metaheuristics. A Set of Undergraduate Lecture Notes. Second Edition (Online Version 2.1). Department of Computer Science, George Mason University, October 2014. 255 р. Available at: http://cs.gmu.edu/~sean/book/metaheuristics, accessed 01.07.2015 .

13. Engwerda J. LQ Dynamic Optimization and Differential Games. John Wiley & Sons Ltd, 2005. 511 p .

14. Haanp T. Approximation Method for Computationally Expensive Nonconvex

Multiobjective Optimization Problems. University of Jyvskyl, 2012. 188 р. Available at:

https://jyx.jyu.fi/dspace/handle/123456789/40501, accessed 01.07.2015 .

15. Eskelinen P., Miettinen K. Trade-off analysis approach for interactive nonlinear

multiobjective optimization // OR Spectrum. 2012. Vol. 34, no. 4. P. 803-816. DOI:

10.1007/s00291-011-0266-z

16. Miettinen K., Ruiz F., Wierzbicki A.P. Introduction to Multiobjective Optimization: Interactive Approaches // In: Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary ApproachНаука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 163 es / ed. by J. Branke, K. Deb, K. Miettinen, R. Slowinski. Springer Berlin Heidelberg,

2008. P. 27-57. DOI: 10.1007/978-3-540-88908-3_2

17. Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches / ed. by J. Branke, K .

Deb, K. Miettinen, R. Slowinski. Springer Berlin Heidelberg, 2008. 481 p. DOI:

10.1007/978-3-540-88908-3

18. Hendriks M., Geilen M., Basten T. Pareto Analysis with Uncertainty: ESR-2011-01. Eindhoven University of Technology, 2011. 8 p. Available at:

http://www.es.ele.tue.nl/esreports/esr-2011-01.pdf, accessed 01.07.2015 .

19. Mahmoud Samadi, Ali Barootiha, Mohsen Rahmani, Ali Taherkhani. Pareto Optimal Robust Feedback Linearization Control of a Nonlinear System with Parametric Uncertainties // Journal of Basic and Applied Scientific Research. 2013. Vol. 3, is. 1s. P. 91-95 .

20. Abbaszadeh M., Marquez H.J. Robust H-Filtering for Lipschitz Nonlinear Systems via Multiobjective Optimization // Journal of Signal and Information Processing. 2010. Vol. 1, no. 1. P. 24-34. DOI: 10.4236/jsip.2010.11003

21. Calandra R., Peters J., Deisenrothy M.P. Pareto Front Modeling for Sensitivity Analysis in Multi-Objective Bayesian Optimization. NIPS Workshop on Bayesian Optimization, 2014. 5 р. Available at: http://www.ias.tu-darmstadt.de/uploads/Publications/Calandra-NIPS2015bayesopt.pdf, accessed 01.07.2015 .

22. Castillo F., Kordon A., Smits G., Christenson B., Dickerson D. Pareto Front Genetic Programming Parameter Selection Based on Design of Experiments and Industrial Data // GECCO 2006: Proceedings of the 8th annual conference on Genetic and evolutionary computation. Vol. 2. ACM, USA, 2006. P. 1613-1620. DOI: 10.1145/1143997.1144264

23. Kumar A., Vladimirsky A. An efficient method for multiobjective optimal control and optimal control subject to integral constraints // Journal of Computational Mathematics.2010 .

Vol. 28, no. 4. P. 517-551. DOI:10.4208/jcm.1003-m0015

24. Reddy P.V., Engwerda J.C. Necessary and Sufficient Conditions for Pareto Optimal Solutions of Cooperative Differential Games // IEEE Transactions on Automatic Control. 2014 .

Vol. 59, no. 9. P. 2536-2543. DOI: 10.1109/TAC.2014.2305933

25. Hartikainen M., Miettinen K., Wiecek M.M. PAINT: Pareto front interpolation for nonlinear multiobjective optimization // Computational Optimization and Applications. 2012. Vol. 52, is. 3. P. 845-867. DOI: 10.1007/s10589-011-9441-z

26. Azhmyakov V., Gil Garcнa A.E. On Optimization Techniques for a Class of Hybrid Mechanical Systems // In: Applications of Nonlinear Control / ed. by M. Altinay. InTech, 2012 .

P. 147-162. DOI: 10.5772/36077

27. Moen H.J.F., Hovland H. Spanning the Pareto Front of a Counter Radar Detection Problem // GECCO '11 Proceedings of the 13th annual conference on Genetic and evolutionary computation. ACM, USA, 2011. P. 1835-1842. DOI: 10.1145/2001576.2001822 Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана 164

28. Advances in Dynamic Games. Theory, Applications, and Numerical Methods for Differential and Stochastic Games / ed. by M. Breton, K. Szajowski. Springer Science+Business Media, LLC, 2011. 612 p. DOI:10.1007/978-0-8176-8089-3

29. Hiroaki Mukaidani, Hua Xu. Pareto Optimal Strategy for Stochastic Weakly Coupled Large Scale Systems with State Dependent System Noise // IEEE Transactions on Automatic Control. 2009. Vol. 54, no. 9. P. 2244-2250. DOI: 10.1109/TAC.2009.2026854

30. Bonnel H., Ngoc Sang Pham. Nonsmooth Optimization Over the (Weakly or Properly) Pareto Set of a Linear-Quadratic Multi-Objective Control Problem: Explicit Optimality Conditions // Journal of Industrial and Management Optimization. 2011. Vol. 7, no. 4. P. 789-809 .

DOI: 10.3934/jimo.2011.7.789

31. Wei Lin. Differential Games for Multi-Agent Systems under Distributed Information: Ph.D .

diss. University of Central Florida, 2013. 127 p .

32. Rehna Nalakath, Nandakumar M.P. Determination of Compromise Solutions for Linear Steady State Regulator with Vector Valued Performance Index // International Journal of Scientific and Research Publications. 2013. Vol. 3, is. 11. P. 1-5 .

33. BonnelH. Post-Pareto Analysis for Multiobjective Parabolic Control Systems // Annals of the Academy of Romanian Scientists. Series on Mathematics and its Applications. 2013 .

Vol. 5, no. 1-2. P. 13-34 .

34. Kurasova O., Petkus T., Filatovas E. Visualization of Pareto Front Points when Solving Multi-objective Optimization Problems // Information Technology and Control. 2013. Vol .

42, no.4. P. 353-361. DOI: http://dx.doi.org/10.5755/j01.itc.42.4.3209

–  –  –

Keywords: multi-criteria optimization, Pareto - optimal solutions, the front Pareto, Pareto rank, direct and integral quality criteria, synthesis of control systems, aircraft The article research concerns the multi-criteria optimization (MCO), which assumes that operation quality criteria of the system are independent and specifies a way to improve values of these criteria. Mutual contradiction of some criteria is a major problem in MCO. One of the most important areas of research is to obtain the so-called Pareto - optimal options .

The subject of research is Pareto front, also called the Pareto frontier. The article discusses front classifications by its geometric representation for the case of two-criterion task. It presents a mathematical description of the front characteristics using the gradients and their projections .

A review of current domestic and foreign literature has revealed that the aim of works in constructing the Pareto frontier is to conduct research in conditions of uncertainty, in the stochastic statement, with no restrictions. A topology both in two- and in three-dimensional case is under consideration. The targets of modern applications are multi-agent systems and groups of players in differential games. However, all considered works have no task to provide an active management of the front .

The objective of this article is to discuss the research problem the Pareto frontier in a new production, namely, with the active co-developers of the systems and (or) the decision makers (DM) in the management of the Pareto frontier. It notes that such formulation differs from the traditionally accepted approach based on the analysis of already existing solutions .

The article discusses three ways to describe a quality of the object management system .

The first way is to use the direct quality criteria for the model of a closed system as the vibrational level of the General form. The second one is to study a specific two-loop system of an aircraft control using the angular velocity and normal acceleration loops. The third is the use of the integrated quality criteria. In all three cases, the selected criteria are mutually contradictory and it is possible to use them for description in the Pareto frontier terms. Techniques for the active influence on the Pareto frontier have allowed us to define parameters not only of the system regulators, but the control object itself, which permit changing the front position. The article analyses the impact of these parameters on the angles of the front, calculated, using the second derivative Science & Education of the Bauman MSTU 166 of the criterion, by the first dJ2/dJ1. It notes that derivatives may act as an assessment of the balance of compromises .

The work reveals that for a General form model the change in natural frequency (time constant) has inversely proportional impact on the tilt of Pareto frontier, i.e. the smaller the time constant, the steeper is front, i.e. it is possible to control the front tilt through changing the time constant. Thus, reducing the time constant leads to the left-hand shift of the Pareto frontier. As to the two-loop system, it shows that the increasing gain module of the angular velocity sensor causes compression of the Pareto frontier in overshoot and stretching time of the transition process. Here, a tilt of the Pareto frontier slightly changes. The increasing module of the sensor linear acceleration gain causes the left-hand shift of the Pareto frontier with simultaneously increasing angle of the front tilt, i.e. its sensitivity increases. The computations of the corresponding Pareto ranks showed that for two-loop system, each of the individual ranks corresponds to the variation of the coefficient of linear acceleration sensor at different gain values of the angular velocity sensor, and if the latter is modulo limited from below, it is necessary to move to the next Pareto rank. Found that the change of dynamic coefficient related to the efficiency of the elevator control has the greatest effect. Using the integral criteria gives the same effect. The influence of other factors on the Pareto frontier is insignificant for direct quality indicators. It is, however, far more effective for the integral criteria. For the latter, as noted, there is an equilibrium point on the graph of the derivatives. Taking into consideration the rather complex functions of integral parameters, the article presents the approximating dependences obtained and notes the usefulness of applying this approach to more extensive scope of research without additional modeling .

Thus, the article offers a new formulation as applied to the study of the Pareto frontier, namely, active control of the front by changing the parameters of the controllers and the object properties and shows a particular implementation of the synthesis of control systems for aircrafts .

References

1. Romanova I.K. About One Approach to Determine the Weights of the State Space Method .

Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 4, pp. 105-129. DOI: 10.7463/0415.0763768 (in Russian) .

2. Pyankov A.A.The methodical approach to the estimation by several criteria of variants of development of base and critical technologies. Materialy Vos'moi Vserossiiskoi nauchnoprakticheskoi konferentsii “Perspektivnye sistemy i zadachi upravleniya” [Proceedings of the Eighth All-Russian scientific-practical conference “Future systems and management tasks”]. Taganrog, TTI SFU Publ., 2013, pp. 44-50. Available at: http://rirpc.ru/wpcontent/uploads/2014/11/CHast_1-8-2013.pdf, accessed 01.07.2015. (in Russian) .

3. Borodulin A.S., Malysheva G.V., Romanova I.K. Optimization of the rheological properties of binders used in molding products made of fiberglass by vacuum infusion. Klei. Germetiki .

Tekhnologii = Adhesives. Sealants, 2015, no. 3, pp. 40-44. (in Russian) .

Science & Education of the Bauman MSTU 167

4. Romanova I.K. The application of analytical methods to the study of Pareto - optimal control systems. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 4, pp. 238-266. DOI: 10.7463/0414.0704897 (in Russian) .

5. Bobtsov A.A., Nikiforov V.O., Pyrkin A.A., Slita O.V., Ushakov A.V. Metody adaptivnogo i robastnogo upravleniya nelineinymi ob"ektami v priborostroenii [Methods of adaptive and robust control of nonlinear objects in instrument]. St. Petersburg, ITMO Publ., 2013. 277 p .

(in Russian) .

6. Zargarjan U.A., Kosenko O.V., Vasilyev L.A. A numerical method of Pareto-optimal decision searching under conditions of the basic data uncertainty. Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki = Izvestiya SFedU. Engineering Sciences, 2013, no. 2 (139), pp.137-144. (in Russian) .

7. Semenova A.V., Chirkov D.V., Lyutov A.E. Objective functionals for optimization of Kaplan runner blade shape. Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbGPU = St. Petersburg State Polytechnical University Journal, 2014, no. 3 (202), pp. 97-106. (in Russian) .

8. Chernorutskiy I.G. St. Petersburg scientific school of stiff optimization (history and review of main scientific results). Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbGPU. Informatika .

Telekommunikatsii. Upravlenie = St. Petersburg State Polytechnical University Journal .

Computer Science. Telecommunications and Control Systems, 2013, no. 5 (181), pp. 29-38 .

(in Russian) .

9. Nogin V.D., Prasolov A.V. Multicriteria Evaluation of the Optimal Amount of the Import Duty. Trudy Instituta Sistemnogo Analiza RAN = Proc. of Institute of Systems Analysis of Russian Academy of Sciences, 2013, vol. 63, no. 2, pp. 34-44. (in Russian) .

10. Lotov A.V., Pospelova I.I. Mnogokriterial'nye zadachi prinyatiya resheniy [Multicriteria decision making problems]. Moscow, MAKS Press, 2008. 197 p. (in Russian) .

11. Karpenko A.P. Sovremennye algoritmy poiskovoi optimizatsii. Algoritmy, vdokhnovlennye prirodoi [Modern algorithms of search engine optimization. Algorithms inspired by nature] .

Moscow, Bauman MSTU Publ., 2014. 446 p. (in Russian) .

12. Luke S. Essentials of Metaheuristics. A Set of Undergraduate Lecture Notes. Second Edition (Online Version 2.1). Department of Computer Science, George Mason University, October 2014. 255 р. Available at: http://cs.gmu.edu/~sean/book/metaheuristics, accessed 01.07.2015 .

13. Engwerda J. LQ Dynamic Optimization and Differential Games. John Wiley & Sons Ltd, 2005. 511 p .

14. Haanp T. Approximation Method for Computationally Expensive Nonconvex Multiobjective Optimization Problems. University of Jyvskyl Publ., 2012. 188 р. Available at: https://jyx.jyu.fi/dspace/handle/123456789/40501, accessed 01.07.2015 .

15. Eskelinen P., Miettinen K. Trade-off analysis approach for interactive nonlinear

multiobjective optimization. OR Spectrum, 2012, vol. 34, no. 4, pp. 803–816. DOI:

10.1007/s00291-011-0266-z Science & Education of the Bauman MSTU 168

16. Miettinen K., Ruiz F., Wierzbicki A.P. Introduction to Multiobjective Optimization: Interactive Approaches. In: Branke J., Deb K., Miettinen K., Slowinski R., eds. Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches. Springer Berlin Heidelberg, 2008, pp .

27-57. DOI: 10.1007/978-3-540-88908-3_2

17. Branke J., Deb K., Miettinen K., Slowinski R., eds. Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches. Springer Berlin Heidelberg, 2008. 481 p. DOI:

10.1007/978-3-540-88908-3

18. Hendriks M., Geilen M., Basten T. Pareto Analysis with Uncertainty: ESR-2011-01. Eindhoven University of Technology, 2011. 8 p. Available at:

http://www.es.ele.tue.nl/esreports/esr-2011-01.pdf, accessed 01.07.2015 .

19. Mahmoud Samadi, Ali Barootiha, Mohsen Rahmani, Ali Taherkhani. Pareto Optimal Robust Feedback Linearization Control of a Nonlinear System with Parametric Uncertainties. Journal of Basic and Applied Scientific Research, 2013, vol. 3, is. 1s, pp. 91-95 .

20. Abbaszadeh M., Marquez H.J. Robust H-Filtering for Lipschitz Nonlinear Systems via Multiobjective Optimization. Journal of Signal and Information Processing, 2010, vol. 1, no. 1, pp. 24-34. DOI: 10.4236/jsip.2010.11003

21. Calandra R., Peters J., Deisenrothy M.P. Pareto Front Modeling for Sensitivity Analysis in Multi-Objective Bayesian Optimization. NIPS Workshop on Bayesian Optimization, 2014. 5 р. Available at: http://www.ias.tu-darmstadt.de/uploads/Publications/Calandra-NIPS2015bayesopt.pdf, accessed 01.07.2015 .

22. Castillo F., Kordon A., Smits G., Christenson B., Dickerson D. Pareto Front Genetic Programming Parameter Selection Based on Design of Experiments and Industrial Data .

GECCO 2006: Proceedings of the 8th annual conference on Genetic and evolutionary computation. Vol. 2. ACM, USA, 2006, pp. 1613-1620. DOI: 10.1145/1143997.1144264

23. Kumar A., Vladimirsky A. An efficient method for multiobjective optimal control and optimal control subject to integral constraints. Journal of Computational Mathematics, 2010, vol. 28, no. 4, pp. 517-551. DOI:10.4208/jcm.1003-m0015

24. Reddy P.V., Engwerda J.C. Necessary and Sufficient Conditions for Pareto Optimal Solutions of Cooperative Differential Games. IEEE Transactions on Automatic Control, 2014, vol. 59, no. 9, pp. 2536-2543. DOI: 10.1109/TAC.2014.2305933

25. Hartikainen M., Miettinen K., Wiecek M.M. PAINT: Pareto front interpolation for nonlinear multiobjective optimization. Computational Optimization and Applications, 2012, vol. 52, is. 3, pp. 845-867. DOI: 10.1007/s10589-011-9441-z

26. Azhmyakov V., Gil Garcнa A.E. On Optimization Techniques for a Class of Hybrid Mechanical Systems. In: Altinay M., ed. Applications of Nonlinear Control. InTech, 2012, pp .

147-162. DOI: 10.5772/36077

27. Moen H.J.F., Hovland H. Spanning the Pareto Front of a Counter Radar Detection Problem .

GECCO '11 Proceedings of the 13th annual conference on Genetic and evolutionary computation. ACM, USA, 2011, pp. 1835-1842. DOI: 10.1145/2001576.2001822 Science & Education of the Bauman MSTU 169

28. Breton M., Szajowski K., eds. Advances in Dynamic Games. Theory, Applications, and Numerical Methods for Differential and Stochastic Games. Springer Science+Business Media, LLC, 2011. 612 p. DOI: 10.1007/978-0-8176-8089-3

29. Hiroaki Mukaidani, Hua Xu. Pareto Optimal Strategy for Stochastic Weakly Coupled Large Scale Systems with State Dependent System Noise. IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, vol. 54, no. 9, pp. 2244-2250. DOI: 10.1109/TAC.2009.2026854

30. Bonnel H., Ngoc Sang Pham. Nonsmooth Optimization Over the (Weakly or Properly) Pareto Set of a Linear-Quadratic Multi-Objective Control Problem: Explicit Optimality Conditions. Journal of Industrial and Management Optimization, 2011, vol. 7, no. 4, pp. 789-809 .

DOI: 10.3934/jimo.2011.7.789

31. Wei Lin. Differential Games for Multi-Agent Systems under Distributed Information. Ph.D .

dis. University of Central Florida, 2013. 127 p .

32. Rehna Nalakath, Nandakumar M.P. Determination of Compromise Solutions for Linear Steady State Regulator with Vector Valued Performance Index. International Journal of Scientific and Research Publications, 2013, vol. 3, is. 11, pp. 1-5 .

33. Bonnel H. Post-Pareto Analysis for Multiobjective Parabolic Control Systems. Annals of the Academy of Romanian Scientists. Series on Mathematics and its Applications, 2013, vol. 5, no. 1-2, pp. 13-34 .

34. Kurasova O., Petkus T., Filatovas E. Visualization of Pareto Front Points when Solving Multi-objective Optimization Problems. Information Technology and Control, 2013, vol. 42, no.4, pp. 353-361. DOI: 10.5755/j01.itc.42.4.3209

Похожие работы:

«ВЕЛИКИЕ АРТИСТЫ ЧИТАЮТ КЛАССИКУ Уважаемые читатели! Всем поклонникам классической и популярной литературы будет интересно познакомиться с замечательной серией аудиокниг "Великие исполнители". Проект газеты "Комсомольская правда" и фирмы...»

«№4 апрель 2014 Ежемесячный литературно-художественный журнал 4. 2014 СОДЕРЖАНИЕ: 25 АПРЕЛЬ – НОХЧИЙН МЕТТАН ДЕ УЧРЕДИТЕЛЬ: Алвади ШАЙХИЕВ. Алахьа, нана, сан аганан илли. Министерство Стихаш Чеченской Республики по Абу ИСМАИЛО...»

«УДК 82-94 ББК 84(2Рос) Ф 17 Оформление серии С. Курбатова Фаина Раневская. Жизнь, рассказанная ею самой / М. : Ф 17 Яуза-пресс, 2014 . — 224 с. — (Уникальная биография женщины-эпохи). ISBN 978-5-9955-0519-8 "Мой отец был бедный нефтепромышленник." — считалось, что от мемуаров Фаины Раневской уцелела лишь эта анекдотическа...»

«ПОЛЬСКАЯ ГОРДЫНЯ И ТАТАРСКОЕ ИГО В СТИХАХ ЦВЕТАЕВОЙ К АХМАТОВОЙ РОМАН ВОЙТЕХОВИЧ Образ героини в цветаевском цикле "Ахматовой" (1916) поражает не только крайней внутренней неоднородностью, но и явным несоответствием образу лирической...»

«Хузиятова & Кузнецова Intercultural Communication Studies XXIII: 1 (2014) "Пограничный Городок" Шэнь Цунвэня: Диалог Утопии и Антиутопии Надежда Константиновна Хузиятова & Мария Юрьевна...»

«Всемирная организация здравоохранения ШЕСТЬДЕСЯТ ТРЕТЬЯ СЕССИЯ ВСЕМИРНОЙ АССАМБЛЕИ ЗДРАВООХРАНЕНИЯ А63/15 Пункт 11.12 предварительной повестки дня 25 марта 2010 г. Вирусный гепатит Доклад Секретариата ЗАБОЛЕВАНИЯ И ИХ БРЕМЯ На группу вирусов (гепатита А, В, С, D и Е), вызывающих острую...»

«| Ю. И. Шамраев I Jl. А. Шишкина ОКЕАНОЛОГИЯ I I Под редакцией I д-ра геогр. наук А. В. Некрасова и канд. геогр. наук И. П. Карповой Д опущ ено Государственным комитетом С С С Р И по гидрометеорологии и контролю природной среды в качестве учебника для учащ ихся гидрометеорологических техникумов Л ени нград Г и д ро...»

















 
2018 www.new.z-pdf.ru - «Библиотека бесплатных материалов - онлайн ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 2-3 рабочих дней удалим его.